A.
Dimensi
Besaran
1. Dimensi
Besaran Pokok dan Besaran Turunan
Dimensi besaran diwakili dengan simbol, misalnya M, L, T yang
mewakili massa (mass), panjang (length) dan waktu (time). Ada dua macam dimensi yaitu
Dimensi Primer dan Dimensi Sekunder. Dimensi
Primer meliputi M (untuk satuan massa), L (untuk satuan panjang) dan T
(untuk satuan waktu). Dimensi Sekunder
adalah dimensi dari semua Besaran Turunan yang dinyatakan dalam Dimensi Primer.
Contoh : Dimensi gaya : M L T-2 dan Dimensi percepatan : L T-2
Catatan
:
Semua
besaran fisis dalam mekanika dapat dinyatakan dengan tiga besaran pokok
(Dimensi Primer) yaitu panjang, massa dan waktu. Sebagaimana terdapat Satuan Besaran Turunan yang
diturunkan dari Satuan Besaran Pokok, demikian juga
terdapat Dimensi Primer dan Dimensi Sekunder yang diturunkan dari
Dimensi Primer.
Satuan dan dimensi suatu variabel
fisika adalah dua hal berbeda. Satuan besaran fisis didefinisikan dengan perjanjian,
berhubungan dengan standar tertentu (contohnya, besaran panjang dapat memiliki
satuan meter, kaki, inci, mil, atau mikrometer),
namun dimensi besaran panjang hanya satu, yaitu L. Dua satuan yang berbeda dapat dikonversikan satu sama lain
(contohnya: 1 m =
39,37 in; angka
39,37 ini disebut sebagai faktor
konversi), sementara tidak ada faktor konversi antar lambang dimensi.
Dimensi
adalah cara penulisan suatu besaran dengan menggunakan simbol (lambang) besaran
pokok. Hal ini berarti dimensi suatu besaran menunjukkan cara besaran itu
tersusun dari besaran-besaran pokok. Apa pun jenis satuan besaran yang
digunakan tidak memengaruhi dimensi besaran tersebut, misalnya satuan panjang
dapat dinyatakan dalam m, cm, km, atau ft, keempat satuan itu mempunyai dimensi
yang sama, yaitu L.
Di
dalam mekanika, besaran pokok panjang, massa, dan waktu merupakan besaran
yang berdiri bebas satu sama lain, sehingga dapat berperan
sebagai dimensi. Dimensi besaran panjang dinyatakan dalam L, besaran
massa dalam M, dan besaran waktu dalam T. Persamaan
yang dibentuk oleh besaran-besaran pokok tersebut haruslah konsisten
secara dimensional, yaitu kedua dimensi pada kedua ruas harus sama. Dimensi
suatu besaran yang dinyatakan dengan lambang huruf tertentu, biasanya
diberi tanda [ ]. Tabel berikut ini menunjukkan lambang dimensi
besaran-besaran pokok.
Besaran Pokok
|
Satuan (SI)
|
Dimensi
|
Panjang
|
m
|
[L]
|
Massa
|
Kg
|
[M]
|
Waktu
|
s
|
[T]
|
Suhu
|
K
|
[θ]
|
Arus Listrik
|
A
|
[E]
|
Intensitas Cahaya
|
cd
|
[I]
|
Jumlah zat
|
Mol
|
[A]
|
Dengan
menggunakan dimensi besaran pokok, dapat dituliskan dimensi sebagai besaran
turunan.
Besaran Turunan
|
Satuan (SI)
|
Dimensi
|
Luas
|
m2
|
[L2]
|
Kecepatan
|
m/s
|
[LT-1]
|
Percepatan
|
m/s2
|
[LT-2]
|
Berat
|
kg.m/s2
|
[MLT-2]
|
Volume
|
m3
|
[L3]
|
Gaya
|
m.kg/s2
|
[MLT-2]
|
Usaha
|
m2.kg/s2
|
[ML2T-2]
|
Daya
|
m2.kg/s3
|
[ML2T-3]
|
Momentum
|
m.kg/s
|
[MLT-1]
|
Gaya
|
m.kg/s2
|
[MLT-2]
|
Momentum sudut
|
m2kg/s
|
[ML2T-1]
|
Torsi
|
m2kg/s
|
[ML2T-1]
|
Koefisien viskositas
|
kg/m.s
|
[ML-1T-1]
|
Modulus Young
|
kg/m.s2
|
[ML-1T-2]
|
Momen inersia
|
kg.m2
|
[ML2]
|
Potensial gravitasi
|
m2/s2
|
[L2T-2]
|
Medan listrik
|
m.kg/s3A
|
[MLT-3E-1]
|
Potensial listrik
|
m3kg/s3A
|
[ML3T-3E-1]
|
Induktansi
|
m2kg/s2A2
|
[ML2T-2E-2]
|
Medan magnet
|
kg/s2A
|
[MT-2E-1]
|
Fluks magnet
|
m2kg/s2A
|
[ML2T-2E-1]
|
Momen dipol listrik
|
m.s.A
|
[LTE]
|
Kapasitansi
|
s4A2/kg.m2
|
[M-1L-2T4E2]
|
B.
Analisis
Dimensi
Analisis dimensi adalah alat
konseptual yang sering diterapkan dalam fisika, kimia dan teknik untuk
memahami keadaan fisis yang melibatkan besaran fisis yang berbeda-beda. Analisis
dimensi selalu digunakan dalam fisika dan teknik untuk memeriksa ketepatan penurunan persamaan. Misalnya,
jika suatu besaran fisis memiliki satuan massa dibagi satuan volume namun
persamaan hasil penurunan hanya memuat satuan massa, persamaan tersebut tidak
tepat. Hanya besaran-besaran berdimensi sama yang dapat saling ditambahkan,
dikurangkan
atau disamakan. Jika
besaran-besaran berbeda dimensi terdapat di dalam persamaan dan satu sama lain
dibatasi tanda "+" atau "−" atau "=", persamaan
tersebut harus dikoreksi terlebih dahulu sebelum digunakan. Jika
besaran-besaran berdimensi sama maupun berbeda dikalikan atau dibagi, dimensi besaran-besaran tersebut
juga terkalikan atau terbagi. Jika besaran berdimensi dipangkatkan, dimensi besaran tersebut
juga dipangkatkan.
Contoh Soal : menetukan dimensi suatu besaran
Tentukan
dimensi dari besaran-besaran berikut ini : (a) volume, (b) massa jenis, (c)
percepatan, (d) usaha
Petunjuk : Kita
harus menulis rumus dari besaran turunan yang akan ditentukan dimensinya
terlebih dahulu. Selanjutnya rumus tersebut diuraikan sampai hanya terdiri dari
besaran pokok.
Jawaban
:
(a) Persamaan Volum (V=volume) adalah panjang x lebar x
tinggi . Panjang, lebar dan tinggi memiliki dimensi yang sama yaitu panjang
[L]. Jadi dimensi volum = [L] [L] [L] =
[L]3.
(b) Persamaan Massa Jenis (, dibaca rho)
adalah (massa per volum). Dimensi massa = [M] sedangkan dimensi
volum = [L]3. Jadi dimensi massa jenis =
(c) Persamaan Percepatan (a=acceleration) adalah . Persamaan Kecepatan = . Sebelum menentukan dimensi Percepatan, terlebih dahulu kita
tentukan dimensi kecepatan. Telah kita ketahui bahwa Dimensi Perpindahan adalah
Panjang [L] dan dimensi waktu [T]. Dengan demikian Dimensi Kecepatan = atau [L][T]-1. Dimensi kecepatan sudah diketahui,
sedangkan dimensi waktu = [T], maka dimensi percepatan adalah =
(d) Persamaan Usaha (W=weight) adalah Gaya (F=force) x Perpindahan (s). Gaya
merupakan besaran turunan, di mana persamaan Gaya adalah massa (m) x percepatan
(a). Percepatan juga merupakan besaran turunan, sehingga kita terlebih dahulu
harus menentukan dimensi percepatan (lihat
nomor c). Dimensi percepatan adalah . Dimensi massa adalah
[M]. Jadi dimensi Gaya adalah [M][L][T]-2. Sekarang kita sudah bisa
menentukan dimensi Usaha. Dimensi Perpindahan = [L], maka dimensi Usaha = [M][L]2[T]-2
Kegunaan Dimensi dalam
Fisika antara lain:
1.
Dapat digunakan
untuk membuktikan dua besaran sama atau tidak. Dua besaran sama jika keduanya
memiliki dimensi yang sama atau keduanya termasuk besaran vektor atau skalar,
Mengungkapkan
kesetaraan atau kesamaan dua besaran yang sepintas berbeda. Misalnya antara
energi dan usaha. Pada energi diambil rumus kinetik: ½ mv2. Dimensi
massa (m) adalah [M], dimensi kecepatan (v) yaitu [L][T]-1 ,
sedangkan ½ adalah konstanta yang tidak berdimensi. Jadi dimensi energi:
[E] =
[M]([L][T]-1)2 = [M][L]2[T]-2
Usaha adalah
hasil kali gaya (F) dan perpindahan (s). dimensi gaya (F) adalah [M][L][T]-2
dan dimensi perpindahan (s) adalah [L].
Jadi, dimensi
usaha (W) adalah : [W] = [M][L][T]-2. [L] = [M][L]2[T]-2
Tampak bahwa
dimensi energi dan dimensi usaha sama.
2.
Dapat digunakan
untuk menentukan persamaan yang pasti salah atau mungkin benar,
Seringkali kita dapat
menentukan bahwa suatu rumus salah hanya dengan melihat dimensi atau satuan
dari kedua ruas persamaan. Sebagai contoh, ketika kita menggunakan rumus A= 2πr
untuk menghitung luas. Dengan melihat dimensi kedua ruas persamaan, yaitu [A] =
L2 dan [2πr] = L kita dengan cepat dapat menyatakan bahwa rumus
tersebut salah karena dimensi kedua ruasnya tidak sama. Tetapi perlu diingat,
jika kedua ruas memiliki dimensi yang sama, itu tidak berarti bahwa rumus
tersebut benar. Hal ini disebabkan pada rumus tersebut mungkin terdapat suatu
angka atau konstanta yang tidak memiliki dimensi, misalnya Ek = 1/2 mv2
, di mana 1/2 tidak bisa diperoleh dari analisis dimensi.
Kita harus ingat
karena dalam suatu persamaan mungkin muncul angka tanpa dimensi, maka angka
tersebut diwakili dengan suatu konstanta tanpa dimensi, misalnya konstanta k.
Misalnya, manakah
hubungan yang benar: x
= at ataukah x = at2 ? dengan
x menyatakan jarak, a besarnya percepatan, dan t waktu. Diketahui jarak merupakan besaran
panjang memiliki dimensi [L]. Percepatan
memiliki dimensi [L]/[T2], sedangkan dimensi waktu adalah
[T], sehingga:
x = at
[L] = [L]/[T2]. [T]
ternyata x memiliki
dimensi [L], dan at memiliki dimensi [L]/[T], berarti secara dimensional
persamaan x = at tidak benar! Sedangkan
x = at2
[L] = [L]/[T2].
[T]2
ternyata x dan at
memiliki dimensi sama, yaitu [L]/[T], berarti secara dimensional persamaan x =
at2 adalah benar!
3.
Dapat digunakan
untuk menurunkan persamaan suatu besaran fisis jika kesebandingan besaran fisis
tersebut dengan besaran-besaran fisis lainnya diketahui.
Jika kita melakukan suatu eksperimen
untuk meneliti suatu kejadian fisika, kita pasti menemukan faktor-faktor yang
berpengaruh pada kejadian fisika tersebut sehingga kejadian fisika tersebut
dapat terjadi. Setelah semua faktor telah di analisis, tugas selanjutnya kita
harus membuat persamaan fisika dari kejadian tersebut agar kejadian tersebut
dapat dihitung dengan angka sehingga kita dapat menafsirkan apa yang akan
terjadi jika faktor-faktornya diubah. Selain seperti yang kita tahu semua
kejadian fisika mempunyai persamaan bukan?
Salah satu cara untuk menurunkan
persamaan suatu kejadian fisika adalah dengan cara analisis dimensi. Bagaimana caranya? Coba lihat contoh soal dan
penyelesainnya berikut.
(a)
Perhatikan
gerak melingkar horizontal yang ditempuh sebuah batu yang diikat pada ujung
seutas tali. Kita anggap bahwa gaya tegang F dalam kawat memiliki
kesebandingan dengan besaran-besaran berikut: massa batu m, kelajuan
batu v, dan jari-jari lintasan r. Tentukan persamaan gaya tegang
dalam kawat (F).
Strategi :
Kita dapat menulis persamaan gaya tegang dalam kawat sebagai
:
F = kmxvyrz
……………………………………………………………………… (*)
Dimana x, y, z adalah pangkat yang tak diketahui dan k
adalah tetapan tanpa dimensi. Selanjutnya dengan menggunakan prinsip dimensi
ruas kiri = dimensi ruas kanan, kita bisa menghitung nilai x, y, z dan
akhirnya menemukan persamaan gaya tegang dalam kawat.
Jawab :
Dimensi gaya F adalah [M][L][T]-2, dimensi
massa m adalah [M], dimensi kelajuan v adalah [L][T]-1,
dimensi jari – jari r adalah [L].
F = kmxvyrz
[F] = k[m]x[v]y[r]z
[M][L][T]-2 = [M]x([L][T]-1)y[L]z
(k tak berdimensi)
[M]1[L]1[T]-2 = [M]x[L]y
+ z[T]-y
upaya dimensi ruas kanan dan kiri sama, maka pangkat dari
[M], [L], [T] dikedua ruas harus sama. Kita peroleh :
Pangkat [M] : 1 = x
x = 1
Pangkat [T] : -2 = -y
y = 2
Pangkat [L] : 1 = y + z
1 = 2 + z
z = -1
Masukkan nilai x, y, z di atas ke dalam persamaan (*),
sehingga akan kita peroleh persamaan gaya tegang tali :
F = km1v2r-1
atau F = kmv2/r
C.
Aplikasi
Dimensi
a.
Pendulum
sederhana
Sebuah massa
yang tergantung diayunkan sehingga gerakannya membentuk pendulum yang
sederhana. Apabila periodenya T, dimana osilasi ayunan tergantung oleh massa m dan panjang bentangan ℓ sedangkan percepatan gravitasinya g
maka:
T = kmx ℓ ygz
…………………………………………. (1.1)
dimana x, y, z, k adalah bilangan yang tidak
diketahui. Dimensi g adalah [L][T]-2.
Dimensi
dari kedua sisi persamaan harus sama maka dimensi dari persamaan (1.1) adalah
[T] = [M]x [L]y
[L]z [T]-2z
…………………………………. (1.2)
dari kedua sisi persamaan (1.2)
x = 0
y + z = 0
-2z = 0
sehingga didapat z = - ½ , y = ½
, x = 0
maka persamaan periodenya (1.1)
menjadi
T = k m0 ℓ 1/2g-1/2
atau T = k ℓ 1/2g-1/2
Jadi, ……. ……………………. (1.3)
Kita tidak dapat menentukan harga k dengan analisa dimensi,
karena k mempunyai harga suatu bilangan tertentu. Dari investigasi matematis
diperolah bahwa harga k = 2π untuk kasus ini, sehingga:
b.
Kecepatan
gelombang transversal pada dawai
Dawai
dipetik sehingga membuat gelombang, apabila pada gelombang transversal
mempunyai kecepatan v, yang tergantung dengan tension atau gaya F pada dawai,
sedangkan panjangnya ℓ dan
massa m maka kecepatannya adalah:
v = kFx ℓ ymz
…………………………………………. (1.4)
dimana x, y, z adalah bilangan yang dicari dimensinya sedangkan k
adalah suatu konstanta. Dimensi v adalah [L][T]-1.
Dimensi dari kedua sisi persamaan harus sama maka
dimensi dari persamaan (1,4) adalah:
[L] [T]-1 = [M]x [L]x [T]-2x
x [L]y x [M]z …….……………. (1.5)
dari kedua sisi persamaan (1.5) didapat:
0 = x + z
1 = x + y
-1 = -2x
sehingga
didapat x = ½ , y = ½ , z = - ½
maka persamaan kecepatan gelombang transversal pada
dawai (1.4) menjadi :
v = Kf1/2 ℓ 1/2m-1/2 atau
Dari investigasi
matematis lengkap diperolah bahwa harga k = 1, sehingga:
BAB
III