Jumat, 27 April 2012

ANALISIS DIMENSI


A.    Dimensi Besaran
1.      Dimensi Besaran Pokok dan Besaran Turunan
Dimensi besaran diwakili dengan simbol, misalnya M, L, T yang mewakili massa (mass), panjang (length) dan waktu (time). Ada dua macam dimensi yaitu Dimensi Primer dan Dimensi Sekunder. Dimensi Primer meliputi M (untuk satuan massa), L (untuk satuan panjang) dan T (untuk satuan waktu). Dimensi Sekunder adalah dimensi dari semua Besaran Turunan yang dinyatakan dalam Dimensi Primer. Contoh : Dimensi gaya : M L T-2 dan Dimensi percepatan : L T-2
Catatan :
Semua besaran fisis dalam mekanika dapat dinyatakan dengan tiga besaran pokok (Dimensi Primer) yaitu panjang, massa dan waktu. Sebagaimana terdapat Satuan Besaran Turunan yang diturunkan dari Satuan Besaran Pokok, demikian juga terdapat Dimensi Primer dan Dimensi Sekunder yang diturunkan dari Dimensi Primer. 
Satuan dan dimensi suatu variabel fisika adalah dua hal berbeda. Satuan besaran fisis didefinisikan dengan perjanjian, berhubungan dengan standar tertentu (contohnya, besaran panjang dapat memiliki satuan meter, kaki, inci, mil, atau mikrometer), namun dimensi besaran panjang hanya satu, yaitu L. Dua satuan yang berbeda dapat dikonversikan satu sama lain (contohnya: 1 m = 39,37 in; angka 39,37 ini disebut sebagai faktor konversi), sementara tidak ada faktor konversi antar lambang dimensi.
Dimensi adalah cara penulisan suatu besaran dengan menggunakan simbol (lambang) besaran pokok. Hal ini berarti  dimensi suatu besaran menunjukkan cara besaran itu tersusun dari besaran-besaran pokok. Apa pun jenis satuan besaran yang digunakan tidak memengaruhi dimensi besaran tersebut, misalnya satuan panjang dapat dinyatakan dalam m, cm, km, atau ft, keempat satuan itu mempunyai  dimensi yang sama, yaitu  L.
Di   dalam mekanika, besaran pokok panjang, massa, dan  waktu merupakan besaran yang berdiri bebas satu sama lain, sehingga dapat berperan sebagai dimensi. Dimensi besaran panjang dinyatakan dalam L, besaran massa dalam M, dan besaran waktu dalam T. Persamaan yang dibentuk oleh besaran-besaran pokok tersebut haruslah konsisten secara dimensional, yaitu kedua dimensi pada kedua ruas harus sama. Dimensi suatu besaran yang dinyatakan dengan lambang huruf tertentu, biasanya diberi tanda [  ]. Tabel berikut ini menunjukkan lambang dimensi besaran-besaran pokok.


Besaran Pokok
Satuan (SI)
Dimensi
Panjang
m
[L]
Massa
Kg
[M]
Waktu
s
[T]
Suhu
K
[θ]
Arus Listrik
A
[E]
Intensitas Cahaya
cd
[I]
Jumlah zat
Mol
[A]
Dengan menggunakan dimensi besaran pokok, dapat dituliskan dimensi sebagai besaran turunan. 
Besaran Turunan
Satuan (SI)
Dimensi
Luas
m2
[L2]
Kecepatan
m/s
[LT-1]
Percepatan
m/s2
[LT-2]
Berat
kg.m/s2
[MLT-2]
Volume
m3
[L3]
Gaya
m.kg/s2
[MLT-2]
Usaha
m2.kg/s2
[ML2T-2]
Daya
m2.kg/s3
[ML2T-3]
Momentum
m.kg/s
[MLT-1]
Gaya
m.kg/s2
[MLT-2]
Momentum sudut
m2kg/s
[ML2T-1]
Torsi
m2kg/s
[ML2T-1]
Koefisien viskositas
kg/m.s
[ML-1T-1]
Modulus Young
kg/m.s2
[ML-1T-2]
Momen inersia
kg.m2
[ML2]
Potensial gravitasi
m2/s2
[L2T-2]
Medan listrik
m.kg/s3A
[MLT-3E-1]
Potensial listrik
m3kg/s3A
[ML3T-3E-1]
Induktansi
m2kg/s2A2
[ML2T-2E-2]
Medan magnet
kg/s2A
[MT-2E-1]
Fluks magnet
m2kg/s2A
[ML2T-2E-1]
Momen dipol listrik
m.s.A
[LTE]
Kapasitansi
s4A2/kg.m2
[M-1L-2T4E2]

B.     Analisis Dimensi
Analisis dimensi adalah alat konseptual yang sering diterapkan dalam fisika, kimia dan teknik untuk memahami keadaan fisis yang melibatkan besaran fisis yang berbeda-beda. Analisis dimensi selalu digunakan dalam fisika dan teknik untuk memeriksa ketepatan penurunan persamaan. Misalnya, jika suatu besaran fisis memiliki satuan massa dibagi satuan volume namun persamaan hasil penurunan hanya memuat satuan massa, persamaan tersebut tidak tepat. Hanya besaran-besaran berdimensi sama yang dapat saling ditambahkan, dikurangkan atau disamakan. Jika besaran-besaran berbeda dimensi terdapat di dalam persamaan dan satu sama lain dibatasi tanda "+" atau "−" atau "=", persamaan tersebut harus dikoreksi terlebih dahulu sebelum digunakan. Jika besaran-besaran berdimensi sama maupun berbeda dikalikan atau dibagi, dimensi besaran-besaran tersebut juga terkalikan atau terbagi. Jika besaran berdimensi dipangkatkan, dimensi besaran tersebut juga dipangkatkan.
Contoh Soal : menetukan dimensi suatu besaran
Tentukan dimensi dari besaran-besaran berikut ini : (a) volume, (b) massa jenis, (c) percepatan, (d) usaha
Petunjuk :  Kita harus menulis rumus dari besaran turunan yang akan ditentukan dimensinya terlebih dahulu. Selanjutnya rumus tersebut diuraikan sampai hanya terdiri dari besaran pokok.
Jawaban :
(a)    Persamaan Volum (V=volume) adalah panjang x lebar x tinggi . Panjang, lebar dan tinggi memiliki dimensi yang sama yaitu panjang [L].  Jadi dimensi volum = [L] [L] [L] = [L]3.
(b)   Persamaan Massa Jenis (, dibaca rho) adalah (massa per volum). Dimensi massa = [M] sedangkan dimensi volum = [L]3. Jadi dimensi massa jenis =
(c)    Persamaan Percepatan (a=acceleration) adalah . Persamaan Kecepatan = . Sebelum menentukan dimensi Percepatan, terlebih dahulu kita tentukan dimensi kecepatan. Telah kita ketahui bahwa Dimensi Perpindahan adalah Panjang [L] dan dimensi waktu [T]. Dengan demikian Dimensi Kecepatan = atau [L][T]-1. Dimensi kecepatan sudah diketahui, sedangkan dimensi waktu = [T], maka dimensi percepatan adalah =
(d)   Persamaan Usaha (W=weight) adalah Gaya (F=force) x Perpindahan (s). Gaya merupakan besaran turunan, di mana persamaan Gaya adalah massa (m) x percepatan (a). Percepatan juga merupakan besaran turunan, sehingga kita terlebih dahulu harus menentukan dimensi percepatan (lihat nomor c). Dimensi percepatan adalah .  Dimensi massa adalah [M]. Jadi dimensi Gaya adalah [M][L][T]-2. Sekarang kita sudah bisa menentukan dimensi Usaha. Dimensi Perpindahan = [L], maka dimensi Usaha = [M][L]2[T]-2
Kegunaan Dimensi dalam Fisika antara lain:
1.      Dapat digunakan untuk membuktikan dua besaran sama atau tidak. Dua besaran sama jika keduanya memiliki dimensi yang sama atau keduanya termasuk besaran vektor atau skalar,
Mengungkapkan kesetaraan atau kesamaan dua besaran yang sepintas berbeda. Misalnya antara energi dan usaha. Pada energi diambil rumus kinetik: ½ mv2. Dimensi massa (m) adalah [M], dimensi kecepatan (v) yaitu [L][T]-1 , sedangkan ½ adalah konstanta yang tidak berdimensi. Jadi dimensi energi:
[E] = [M]([L][T]-1)2 = [M][L]2[T]-2
Usaha adalah hasil kali gaya (F) dan perpindahan (s). dimensi gaya (F) adalah [M][L][T]-2 dan dimensi perpindahan (s) adalah [L].
Jadi, dimensi usaha (W) adalah : [W] = [M][L][T]-2. [L] = [M][L]2[T]-2
Tampak bahwa dimensi energi dan dimensi usaha sama.

2.      Dapat digunakan untuk menentukan persamaan yang pasti salah atau mungkin benar,
Seringkali kita dapat menentukan bahwa suatu rumus salah hanya dengan melihat dimensi atau satuan dari kedua ruas persamaan. Sebagai contoh, ketika kita menggunakan rumus A= 2πr untuk menghitung luas. Dengan melihat dimensi kedua ruas persamaan, yaitu [A] = L2 dan [2πr] = L kita dengan cepat dapat menyatakan bahwa rumus tersebut salah karena dimensi kedua ruasnya tidak sama. Tetapi perlu diingat, jika kedua ruas memiliki dimensi yang sama, itu tidak berarti bahwa rumus tersebut benar. Hal ini disebabkan pada rumus tersebut mungkin terdapat suatu angka atau konstanta yang tidak memiliki dimensi, misalnya Ek = 1/2 mv2 , di mana 1/2 tidak bisa diperoleh dari analisis dimensi.
Kita harus ingat karena dalam suatu persamaan mungkin muncul angka tanpa dimensi, maka angka tersebut diwakili dengan suatu konstanta tanpa dimensi, misalnya konstanta k.
Misalnya, manakah hubungan yang benar: x = at ataukah x = at2 ? dengan x menyatakan jarak, a besarnya percepatan, dan t waktu. Diketahui jarak merupakan besaran panjang memiliki dimensi [L]. Percepatan memiliki dimensi [L]/[T2], sedangkan dimensi waktu adalah [T], sehingga:

     x = at
  [L] = [L]/[T2]. [T]
ternyata x memiliki dimensi [L], dan at memiliki dimensi [L]/[T], berarti secara dimensional persamaan x = at tidak benar! Sedangkan
   x = at2
[L] = [L]/[T2]. [T]2
ternyata x dan at memiliki dimensi sama, yaitu [L]/[T], berarti secara dimensional persamaan x = at2 adalah benar!
3.      Dapat digunakan untuk menurunkan persamaan suatu besaran fisis jika kesebandingan besaran fisis tersebut dengan besaran-besaran fisis lainnya diketahui.
Jika kita melakukan suatu eksperimen untuk meneliti suatu kejadian fisika, kita pasti menemukan faktor-faktor yang berpengaruh pada kejadian fisika tersebut sehingga kejadian fisika tersebut dapat terjadi. Setelah semua faktor telah di analisis, tugas selanjutnya kita harus membuat persamaan fisika dari kejadian tersebut agar kejadian tersebut dapat dihitung dengan angka sehingga kita dapat menafsirkan apa yang akan terjadi jika faktor-faktornya diubah. Selain seperti yang kita tahu semua kejadian fisika mempunyai persamaan bukan?
Salah satu cara untuk menurunkan persamaan suatu kejadian fisika adalah dengan cara analisis dimensi. Bagaimana caranya? Coba lihat contoh soal dan penyelesainnya berikut.
(a)    Perhatikan gerak melingkar horizontal yang ditempuh sebuah batu yang diikat pada ujung seutas tali. Kita anggap bahwa gaya tegang F dalam kawat memiliki kesebandingan dengan besaran-besaran berikut: massa batu m, kelajuan batu v, dan jari-jari lintasan r. Tentukan persamaan gaya tegang dalam kawat (F).
Strategi :
Kita dapat menulis persamaan gaya tegang dalam kawat sebagai :
F = kmxvyrz ……………………………………………………………………… (*)
Dimana x, y, z adalah pangkat yang tak diketahui dan k adalah tetapan tanpa dimensi. Selanjutnya dengan menggunakan prinsip dimensi ruas kiri = dimensi ruas kanan, kita bisa menghitung nilai x, y, z dan akhirnya menemukan persamaan gaya tegang dalam kawat.
Jawab :
Dimensi gaya F adalah [M][L][T]-2, dimensi massa m adalah [M], dimensi kelajuan v adalah [L][T]-1, dimensi jari – jari r adalah [L].
F = kmxvyrz
[F] = k[m]x[v]y[r]z
[M][L][T]-2 = [M]x([L][T]-1)y[L]z (k tak berdimensi)
[M]1[L]1[T]-2 = [M]x[L]y + z[T]-y
upaya dimensi ruas kanan dan kiri sama, maka pangkat dari [M], [L], [T] dikedua ruas harus sama. Kita peroleh :
Pangkat [M] : 1 = x
x = 1
Pangkat [T] : -2 = -y
y = 2
Pangkat [L] : 1 = y + z
1 = 2 + z
z = -1
Masukkan nilai x, y, z di atas ke dalam persamaan (*), sehingga akan kita peroleh persamaan gaya tegang tali :
F = km1v2r-1                atau                 F = kmv2/r

C.    Aplikasi Dimensi
a.      Pendulum sederhana
Sebuah massa yang tergantung diayunkan sehingga gerakannya membentuk pendulum yang sederhana. Apabila periodenya T, dimana osilasi ayunan tergantung oleh massa m dan panjang bentangan sedangkan percepatan gravitasinya g maka:
  T = kmx ygz              …………………………………………. (1.1)
dimana x, y, z, k adalah bilangan yang tidak diketahui. Dimensi g adalah [L][T]-2.
Dimensi dari kedua sisi persamaan harus sama maka dimensi dari persamaan (1.1) adalah
 [T] = [M]x [L]y [L]z [T]-2z           …………………………………. (1.2)
dari kedua sisi persamaan (1.2)
x          = 0
y + z    = 0
-2z       = 0


sehingga didapat z = - ½ , y = ½ , x = 0
maka persamaan periodenya (1.1) menjadi 
T = k m0 1/2g-1/2                      atau                 T = k 1/2g-1/2  
                        Jadi,                                         ……. ……………………. (1.3)

Kita tidak dapat menentukan harga k dengan analisa dimensi, karena k mempunyai harga suatu bilangan tertentu. Dari investigasi matematis diperolah bahwa harga k = 2π untuk kasus ini, sehingga:

b.      Kecepatan gelombang transversal pada dawai
Dawai dipetik sehingga membuat gelombang, apabila pada gelombang transversal mempunyai kecepatan v, yang tergantung dengan tension atau gaya F pada dawai, sedangkan panjangnya  ℓ  dan massa m maka kecepatannya adalah:

v = kFx ymz                …………………………………………. (1.4)

dimana x, y, z adalah bilangan yang dicari dimensinya sedangkan k adalah suatu konstanta. Dimensi v adalah [L][T]-1.
Dimensi dari kedua sisi persamaan harus sama maka dimensi dari persamaan (1,4)  adalah:

[L] [T]-1 = [M]x [L]x [T]-2x x [L]y x [M]z            …….……………. (1.5)

dari kedua sisi persamaan (1.5) didapat:
0 = x + z
1 = x + y
-1 = -2x
                        sehingga didapat x = ½ , y = ½ , z = - ½ 
maka persamaan kecepatan gelombang transversal pada dawai (1.4) menjadi :
v = Kf1/2 1/2m-1/2                           atau


Dari investigasi matematis lengkap diperolah bahwa harga k = 1, sehingga:


BAB III

3 komentar:

  1. dimensi dari besaran berikut :
    1. daya/luas
    2. gaya x jarak
    3. tekanan x tinggi
    4. tekanan x volume

    tolong di jawab yah kalau bs sekarang.

    BalasHapus
  2. ini sangat membantu aku ngerjain tugas...
    makasih yaah :))

    BalasHapus